Matlab Programlama: Newton-Raphson Yöntemi

Eren DİNÇER 17 Eylül 2015

lineer olmayan denklem, matlab kod, newton-raphson, nonlineer denklem, nümerik analiz, sayısal yöntem

Newton-Raphson yöntemi, eşitlik köklerinin bulunmasında en yaygın kullanılan metotlardan birisidir. Yöntemin temeli aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi başlangıç değerinin fonksiyonu kestiği noktada çizilen teğetin yatay ekseni kestiği yeni nokta, başlangıç değeri ile değiştirilerek köke yaklaşmaya çalışmaktır. Bu yeni nokta çoğu zaman başlangıç değerine göre daha yaklaşık bir köktür. Taylor serisi açılımından hareketle Newton – Raphson yöntemi yakınsama ifadesi aşağıdaki şekilde elde edilebilir. Adsız

Burada yukarıdaki eşitlikler kullanılarak ilk eşitlik aşağıdaki şekilde yeniden düzenlenebilir.

Adsızd

Son bulunan eşitlik başlangıç değeri, fonksiyon değeri, ve fonksiyonun başlangıç değeri ile elde edilen türevi kullanılarak elde edilen yeni yaklaşık kök değeridir. Bu ifadeyi genelleştirerek bir iterasyon ifadesi şeklinde aşağıdaki eşitlik şeklinde yazılabilir.

Bir başka yaklaşımla (f(x0) ,x0 ) noktasındaki teğetin eğimi aşağıdaki eşitlik şeklinde olduğu bilinmektedir. Bu eğim fonksiyon değerinin , başlangıç değeri (x0) ile yeni yaklaşık değer (x1) farkına oranı şeklinde yazılabilir.

Adsızz

Aşağıda f(x)=3-2*x-exp(-x)=0 lineer olmayan denklemin kökünü Newton-Raphson metodu ilen bulan MATLAB programı detaylı şekilde verilmiştir.

clc; clear all;
% f, lineer olmayan denklemdir.
% f1, f fonksiyonun türevidir.
% x0, iterasyon başlangıç değeri
% epsilon, f fonksiyonunun toleransı
% delta, ilk koşul tolerans değeri
% y değeri ne kadar küçükse o kadar mükemmeldir.!!!!!!!!
% k, iterasyon değeridir.
% maxi, maksimum iterasyon sayısıdır. 
syms x
delta=0.0000001;
epsilon=0.00001;
maxi=20;
x0=0;
f=@(x) 3-2*x-exp(-x);
f1=@(x) exp(-x)-2;
for k=1:maxi
a=f1(x0); %türevin sıfır olup olmadığı kontrol ediliyor.
if abs(a)<0.00001
disp('turevin değeri sıfıra çok yakın, algoritma durur')
break
end
x1=x0-f(x0)/f1(x0);
hata=abs(x1-x0);
hatatek=2*hata/(abs(x1)+delta);
x0=x1;
y=f(x0);
if(hata<delta)|(hatatek<delta)|(abs(y)<epsilon)
break
end
end
disp('aranılan kök değeri')
x1
disp('hata miktarı')
y
disp('iterasyon sayısı')
k

clc; clear all;

% f, lineer olmayan denklemdir.

% f1, f fonksiyonun türevidir.

% x0, iterasyon başlangıç değeri

% epsilon, f fonksiyonunun toleransı

% delta, ilk koşul tolerans değeri

% y değeri ne kadar küçükse o kadar mükemmeldir.!!!!!!!!

% k, iterasyon değeridir.

% maxi, maksimum iterasyon sayısıdır.

syms x

delta=0.0000001;

epsilon=0.00001;

maxi=20;

x0=0;

f=@(x) 3-2*x-exp(-x);

f1=@(x) exp(-x)-2;

for k=1:maxi

a=f1(x0); %türevin sıfır olup olmadığı kontrol ediliyor.

if abs(a)<0.00001

disp('turevin değeri sıfıra çok yakın, algoritma durur')

break

end

x1=x0-f(x0)/f1(x0);

hata=abs(x1-x0);

hatatek=2*hata/(abs(x1)+delta);

x0=x1;

y=f(x0);

if(hata<delta)|(hatatek<delta)|(abs(y)<epsilon)

break

end

disp('aranılan kök değeri')

disp('hata miktarı')

disp('iterasyon sayısı')

Programın sonucu aşağıdaki gibidir.

Adsızr

Bu yazı hakkında ne düşünüyorsun ?

Faydalı ()
Gereksiz ()
Müthiş ()
Normal ()

Bio
Latest Posts

Eren DİNÇER

2012 yılında Pamukkale Üniversitesi Matematik bölümünden dereceyle mezun oldu. 2015 yılında aynı üniversiteden Uygulamalı Matematik alanında Yükseklisansını tamamladı. Uluslararası matematik ve mühendislik konferaslarında bildirileri bulunmaktadır. İlgi alanları; Uygulamalı Matematik, Nümerik Analiz, Optimizasyon, Matematiksel Ekonomi

Latest posts by Eren DİNÇER (see all)

Matrislerin Matlab Programlama İle Bazı Çözümleri - 29 Eylül 2018
Unutulmuş Bir Dahi: Alan Turing - 13 Ocak 2016
Matlab Programlama: Newton-Raphson Yöntemi - 17 Eylül 2015
Matlab Programlama: Dosya Yönetimi - 16 Eylül 2015
Matlab Programlama: Grafik Çizimi - 15 Eylül 2015